Question

8．一圆锥高为h，侧面展开图为半圆，则圆锥的底面积为$\frac{{h}^{2}}{6}π$．

Answer 1

分析 设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，然后求解圆锥的底面面积．

解答 解：设底面半径为r，母线长为R，则底面周长=2πr，即展开后的弧长为2πr，
∵展开后的侧面为半圆，
∴侧面积为：$\frac{1}{2}$πR²，
由$\frac{1}{2}$×2πrR=$\frac{1}{2}$πR²，
得：R=2r，
由勾股定理得，R²=（ $\frac{R}{2}$）²+h²，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$h=R，
∴圆锥的底面积为：πr²=$π×（\frac{R}{2}）^{2}$=$\frac{{h}^{2}}{6}π$．
故答案为：$\frac{{h}^{2}}{6}π$．

点评 本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式求解．