Question

20．已知△ABC三边长构成公差为d（d≠0）的等差数列，则△ABC最大内角α的取值范围为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$＜α≤$\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$＜α＜π
• C． $\frac{π}{3}$≤α＜π
• D． $\frac{π}{3}$＜α≤$\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由已知根据三角形内角和定理得3α＞π，从而解得α＞$\frac{π}{3}$，妨设三角形三边为a-d，a，a+d，（a＞0，d＞0），利用余弦定理可得cosα=2-$\frac{3}{2-2•\frac{d}{a}}$＞-1，结合三角形内角的范围即可得解．

解答 解：∵α为△ABC最大内角，
∴3α＞π，
即α＞$\frac{π}{3}$，
由题意，不妨设三角形三边为a-d，a，a+d，（a＞0，d＞0），
则由余弦定理可得，cosα=$\frac{（a-d）^{2}+{a}^{2}-（a+d）^{2}}{2a（a-d）}$=$\frac{a-4d}{2a-2d}$=2-$\frac{3a}{2a-2d}$=2-$\frac{3}{2-2•\frac{d}{a}}$，
又∵三角形两边之和大于第三边，可得a-d+a＞a+d，可得a＞2d，即$\frac{d}{a}$$＜\frac{1}{2}$，
∴cosα=2-$\frac{3}{2-2•\frac{d}{a}}$＞-1，
又α为三角形内角，α∈（0，π），
可得：α∈（$\frac{π}{3}$，π）．
故选：B．

点评 本题考查三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．