Question

10．已知F₁、F₂分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0（其中O为坐标原点），且|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，则双曲线离心率为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根据向量关系求出F₁M⊥MF₂，结合双曲线的定义以及直角三角形的边角关系建立方程关系进行求解即可．

解答 解：设C是MF₂的中点，
∵（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0
∴2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0
即OC⊥MF₂，
即OM=OF₂
∵OC∥F₁M，
∴F₁M⊥MF₂，
∵|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，
∴|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|-|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=2a
则|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\frac{2a}{\sqrt{3}-1}$=（$\sqrt{3}$+1）a，
|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$+1）a，
∵|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|²=4c²，
∴4（$\sqrt{3}$+1）²a²=4c²，
即（$\sqrt{3}$+1）²a²=c²，
即（$\sqrt{3}$+1）a=c，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案为：$\sqrt{3}$+1

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量关系判断F₁M⊥MF₂，是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．