Question

已知函数f（x）=x³-x²，x∈R．
（Ⅰ）若正数m、n满足m•n＞1，证明：f（m）、f（n）至少有一个不小于零；
（Ⅱ）若a、b为不相等的正数，且满足f（a）=f（b），求证：a+b＞1．

Answer 1

证明：（Ⅰ）假设f（m）、f（n）都不小于零，∴f（m）=m³-m＜0，f（n）=n³-n＜0，
∴m²（m-1）＜0，∴0＜m＜1，同理0＜n＜1，∴0＜mn＜1，这与mn＞1矛盾，
∴f（m）、f（n）至少有一个不小于零．
（Ⅱ）∵f（a）=a³-a=b³-b，∴a³-b³=a²-b²，∴（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）（a+b），
∴a²+ab+b²=a+b，∴（a+b）²-3ab=a+b，∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，
∴（a+b）²-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，∵a、b为不相等的正数，∴a+b＞1．
分析：（Ⅰ）证明：假设f（m）、f（n）都不小于零，可证得0＜m＜1，0＜n＜1，故有 0＜mn＜1，这与mn＞1矛盾．
（Ⅱ） 由f（a）=f（b），可得∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，由（a+b）²-（a+b）＞0，解得 a+b＜0或a+b＞1，根据a、b为不相等的正数，可得a+b＞1．
点评：本题考查用反证法和放缩法证明数学命题，一元二次不等式的解法，得到∴（a+b）²-（a+b）=3ab＞0，是解题的关键．