Question

已知函数f（x）=

a

x-1

（a≠0），当x∈（-∞，1）时，判断函数f（x）单调性，并说明理由．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设1＞x₂＞x₁，化简 f（x₂）-f（x₁）为

a(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

，再分a＞0、a＜0两种情况，根据

a(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

 的符号，可得f（x₂）与f（x₁） 的大小关系，从而判断函数的单调性

解答： 解：设1＞x₂＞x₁，∵f（x₂）-f（x₁）=

a

x2-1

-

a

x1-1

=

a(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

，x₁-x₂＜0，x₂-1＜0，x₁-1＜0，
∴

x1-x2

(x2-1)(x1-1)

＜0．
当a＞0时，

a(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

＜0，f（x₂）＜f（x₁），函数f（x）在（-∞，1）上是减函数．
当a＜0时，

a(x1-x2)

(x2-1)(x1-1)

＞0，f（x₂）＞f（x₁），函数f（x）在（-∞，1）上是增函数．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和正明，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．