Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点．若PA=AD=3，CD=

6

．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求点F到平面PCE的距离；
（3）求直线FC平面PCE所成角的大小．

Answer 1

分析：解法一：
（1）根据直线与平面平行的判定定理可知：需在平面PCE中寻找一条平行于AF的直线，平行主要依据中位线和中点条件，或者是特殊的四边形，三角形等． 此题中取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，易证四边形AEGF是平行四边形．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．因为EG⊥平面PCD，所以平面PCD内，过F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE=PC，则FH的长就是点F到平面PCE的距离．
（3）线面角大小的度量关键在于作出垂直于面的垂线，此题中由（2）可知：∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角．
解法二：
分别以AB、AD、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（

6

2

，0，0），F（0，

3

2

，

3

2

），C（

6

，3，0），这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）取PC的中点G，连接EG，则(

6

2

，

3

2

，

3

2

)．，因为

AF

=(0，

3

2

，

3

2

)，

EG

=(0，

3

2

，

3

2

)，则

AF

∥

EG

，即AF∥EG．
（2）设平面PCE的法向量为

n

=(x，y，z)，

EP

=(-

6

2

，0，3)，

EC

=(

6

2

，3，0)．，可得：

n

=(

6，

-1，1)
（3）因为

FC

=(

6

，

3

2

，-

3

2

)，由向量的数量积运算可以求得：直线FC与平面PCE所成角的大小．

解答：解：法一：
（I）取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，
则FG∥

1

2

CD．
又由已知有AE∥

1

2

CD，∴FG∥AE．
∴四边形AEGF是平行四边形．
∴AF∥EG．又AF平面PCE，EG⊆平面PCE．
∴AF∥平面PCE；（5分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD
由ABCD是矩形有CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD
∴AF⊥CD，又PA=AD=3，F是PD的中点
∴AF⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AF⊥平面PCD
由EG∥AF，
∴EG⊥平面PCD
∴平面PCD内，过F作FH⊥PC于H
由于平面PCD∩平面PCE=PC，
则FH的长就是点F到平面PCE的距离（8分）
由已知可得PD=3

2

，PF=

3

2

2

，PC=2

6

由于CD⊥平面PAD
∴∠CPD=30°
∴FH=

1

2

PF=

3

4

2

∴点F到平面PCE的距离为

3

4

2

；（10分）
（III）由（II）知∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角
.在Rt△CDF中，CD=

6

，FD=

3

2

2

∴FC=

CD2+FD2

=

42

2

∴sinFCH=

FH

FC

=

21

14

∴直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin

21

14

．（14分）
法二：
如图建立空间直角坐标系A-xyz
A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），
E（

6

2

，0，0），F（0，

3

2

，

3

2

），C（

6

，3，0）（2分）
（I）取PC的中点G，连接EG，
则(

6

2

，

3

2

，

3

2

)．∵

AF

=(0，

3

2

，

3

2

)，

EG

=(0，

3

2

，

3

2

)
∴

AF

∥

EG

即AF∥EG又AF平面PCE，EG⊆平面PCE
∴AF∥平面PCE．（6分）
（II）设平面PCE的法向量为

n

=(x，y，z)，

EP

=(-

6

2

，0，3)，

EC

=(

6

2

，3，0)．

n • EP =0 n • EC =0.

即

- 6 2 x+3z=0 6 2 x+3y=0.

取y=-1，得

n

=(

6，

-1，1)
又

PF

=(0，

3

2

，-

3

2

)故点F到平面PCE的距离为
d=

PF • n

| n |

=

|- 3 2 - 3 2 |

2 2

=

3 2

4

．（10分）
（III）

FC

=(

6

，

3

2

，-

3

2

)，
|cos＜

FC，

n

＞|=

| FC • n |

| FC |•| n |

=

3

21 2 ×2 2

=

21

14

．
∴直线FC与平面PCE所成角的大小为arcsin

21

14

．（14分）

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．