Question

设a，b为实常数，k取任意实数时，y=（k²+k+1）x²-2（a+k²）x+（k²+3ak+b）的图象与x轴都交于点A（1，0）．求a，b的值；若函数与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由y=（k²+k+1）x²-2（a+k²）x+（k²+3ak+b）的图象与x轴都交于点A（1，0），代入可得∴（k²+k+1）-2（a+k²）+（k²+3ak+b）=0恒成立，进而可得1-a=0且1+b-2a²=0，解方程可得a，b的值；设B为（m，0），则|AB|=|m-1|，利用韦达定理可得1×m=

k2+3k+1

k2+k+1

，即（1-m）k²+（3-m）k+（1-m）=0有实根，根据△≥0构造关于m的不等式，求出m的取值范围，可得答案．

解答： 解：∵k取任意实数时，y=（k²+k+1）x²-2（a+k²）x+（k²+3ak+b）的图象与x轴都交于点A（1，0）．
∴（k²+k+1）-2（a+k²）+（k²+3ak+b）=0恒成立，
∴k（1-a）+1+b-2a²=0恒成立，
∴1-a=0且1+b-2a²=0
解得a=1，b=1
设B为（m，0），则|AB|=|m-1|．
∵m、1是（k²+k+1）x²-2（1+k²）x+（k²+3k+1）=0 的两根，
∴1×m=

k2+3k+1

k2+k+1

即（1-m）k²+（3-m）k+（1-m）=0有实根
∵△=（3-m）²-4（1-m）²≥0
即3m²-2m-5≤0
解得-2≤m-1≤

2

3

∴|AB|=|m-1|≤2，当k=-1时，等号成立．
∴|AB|的最大值为2．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数图象过定点，韦达定理，一元二次方程根与系数的关系，是函数图象和性质的综合应用，综合性强，难度较大．