Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，四个顶点所围成菱形的面积为8

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若A、B两点在椭圆C上，坐标原点为O，且满足k_OA•k_OB=-

1

2

，
（i）求

.

OA

•

.

OB

的取值范围；
（ii）求△AOB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；
（II）（i）设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；
（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式即可得出．

解答： 解：（I）由已知可得

e= c a = 2 2 1 2 •2a•2b=8 2 a2=b2+c2

解得c=2，b=2，a²=8．
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（II）（i）设直线AB的方程为y=kx+m，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，化为8k²+4＞m²，①
∴x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
∵满足k_OA•k_OB=-

1

2

，∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

．
∴y1y2=-

1

2

x1x2=-

1

2

•

2m2-8

1+2k2

=-

m2-4

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2•

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

．
∴-

m2-4

1+2k2

=

m2-8k2

1+2k2

，
∴4k²+2=m²，
∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

2m2-8

1+2k2

-

m2-4

1+2k2

=

m2-4

1+2k2

=

4k2+2-4

1+2k2

=2-

4

1+2k2

，
∴-2≤

OA

•

OB

＜2，
又直线AB的斜率不存在时

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的取值范围是[-2，2]．
（ii）设原点到直线AB的距离为d，
则S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

1+k2

•|x1-x2|•

|m|

1+k2

=

|m|

2

(x1+x2)2-4x1x

2
=

|m|

2

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-8 1+2k2

=2

4k2-m2+4

=2

2

．
∴△AOB的面积为2

2

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形的面积公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．