Question

定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象上两点A（a，f（a）），B（b，f（b））．M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]．已知向量

ON

=λ

OA

+（1-λ）

OB

，若不等式|

MN

|≤k对任意λ∈[0，1]恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x-

1

x

在[1，3]上“k阶线性近似”，则实数的k取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：利用向量的坐标运算，求出

MN

的坐标，运用求模公式可解．

解答： 解：设M（x，y），则x=λ+（1-λ）×3=3-2λ，y=3-2λ-

1

3-2λ

，λ∈[0，1]
∴M坐标为（3-2λ，3-2λ-

1

3-2λ

）
又

ON

=λ

OA

+(1-λ)

OB

=（3-2λ，

8

3

-

8

3

λ）
∴

MN

=（0，

1

3-2λ

-

1+2λ

3

）
∴|

MN

|=

1+2λ

3

-

1

3-2λ

=

4

3

-（

3-2λ

3

+

1

3-2λ

）≤

4

3

-

3-2λ 3 × 1 3-2λ

=

4-2 3

4

∴k≥

4-2 3

3

故答案为：[

4-2 3

3

，+∞）

点评：本体题主要考察了向量的坐标运算，难度适中，属于中档题．