Question

【题目】已知函数，其中.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若，且函数有两个零点，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先求导，再根据定义域和根的大小，分， 两种情况讨论求解.

（2）根据（1），当时，的单调递，故不存在两个零点，当时，由（1）可知，要使函数有两个零点，则需，即，令，研究其最大值，再结合，确定实数的最大值.

（1）∵，

∴，

当时，，此时的增区间为，

当时，由可得，此时的增区间为，减区间为，

综上：当时，的单调递增区间为，

当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为.

（2）由（1）可知，当时，的单调递增区间为，故不存在两个零点，

当时，由（1）可知，

要使函数有两个零点，则，

即，

即，

设，

∴，

∴为上的减函数，

又，，

∴，使，

∴时，，

时，，

∵，∴，

又∵，

∴，∴，

此时，

符合题意，

∴.