Question

【题目】已知函数 .

（Ⅰ）若在区间上有极值，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若有唯一的零点，试求的值.（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如；以下数据供参考：）

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】

试题分析：（1）求出f（x）的导数，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈（0，+∞），求出导数，讨论a的符号，判断单调性，即可得到所求a的范围；（2）由（1）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，则x0＞1，讨论f（x）在x＞1的单调性，再由零点的定义和极值点的定义，可得x0的方程，构造函数，判断单调性，由零点存在性定理知 t（2）＜0，t（3）＞0，即可得到所求值．

试题解析：

（Ⅰ）函数 的定义域为，

令，则，

当时，恒成立，在上为增函数，

又函数在内有一个零点，

且当时，时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在区间内有极小值.

当时，，即时，恒成立，

函数在单调递减，此时函数无极值，

综上可得：在区间内有极值时实数的取值范围是，

（Ⅱ）①当时，得，不满足定义域，不存在.

②当时，由（Ⅰ）知：若有唯一的零点为极小值点，

所以，

③当时，函数的定义域为，

由（Ⅰ）可知：知时，

又在区间上只有一个极小值点记为，

且时，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

由题意可知：即为，

消去可得：，

即，

令，则在区间上单调递增，

又，

，

由零点存在性定理知

综上可得：