【题目】如图,在多面体中,四边形
为矩形,
,
均为等边三角形,
,
.
(1)过作截面与线段
交于点
,使得
平面
,试确定点
的位置,并予以证明;
(2)在(1)的条件下,求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)当为线段
的中点时,使得
平面
.(2)
【解析】
试题分析:(1) 当为线段
的中点时,
平面
.连结AC交BD于M,连结MN.利用中位线定理即可证明
,于是
平面
.
(2)通过线面关系证得
,
.分别以
,
,
的方向为
,
,
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,用向量法求解即可.
试题解析:(1)当为线段
的中点时,使得
平面
.
证法如下:
连接,
,设
,
∵四边形为矩形,
∴为
的中点,
又∵为
的中点,
∴为
的中位线,
∴,
∵平面
,
平面
,
∴平面
,故
为
的中点时,使得
平面
.
(2)过作
分别与
,
交于
,
,
因为为
的中点,所以
,
分别为
,
的中点,
∵与
均为等边三角形,且
,
∴,连接
,
,则得
,
∵,
,
,
∴,
,
∴四边形为等腰梯形.
取的中点
,连接
,则
,
又∵,
,
,
∴平面
,
过点作
于
,则
,
∴
,
.
分别以,
,
的方向为
,
,
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,不妨设
,则由条件可得:
,
,
,
,
,
.
设是平面
的法向量,
则即
所以可取,
由,可得
,
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)进行纳税,计划可收购万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税降低
(
)个百分点,预测收购量可增加
个百分点.
(1)写出税收(万元)与
的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的,试确定
的取值范围
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【题目】某校高一2班学生每周用于数学学习的时间(单位:
)与数学成绩
(单位:分)之间有如下数据:
24 | 15 | 23 | 19 | 16 | 11 | 20 | 16 | 17 | 13 | |
92 | 79 | 97 | 89 | 64 | 47 | 83 | 68 | 71 | 59 |
某同学每周用于数学学习的时间为18小时,试预测该生数学成绩.
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【题目】已知函数
.
(Ⅰ)若在区间
上有极值,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若有唯一的零点
,试求
的值.(注:
为取整函数,表示不超过
的最大整数,如
;以下数据供参考:
)
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【题目】已知函数f(x)= x3+
x2-ax-a,x∈R,其中a>0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围.
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【题目】某公司计划在办公大厅建一面长为米的玻璃幕墙.先等距安装
根立柱,然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元,一块长为
米的玻璃造价为
元.假设所有立柱的粗细都忽略不计,且不考虑其他因素,记总造价为
元(总造价=立柱造价+玻璃造价).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)当时,怎样设计能使总造价最低?
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【题目】已知函数f(x)=﹣sin2x+sinxcosx+
,x∈[0,
]
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若f()=
,α∈(0,π),求sinα的值.
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【题目】袋子里有完全相同的3只红球和4只黑球,今从袋子里随机取球.
(Ⅰ)若有放回地取3次,每次取一个球,求取出2个红球1个黑球的概率;
(Ⅱ)若无放回地取3次,每次取一个球,若取出每只红球得2分,取出每只黑球得1分,求得分的分布列和数学期望.
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