Question

【题目】设为等差数列，为公差，且和均为实数，，它的前项和记作.设集合，.

下列结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举一个例子说明.

（1）以集合中的元素为坐标的点都在同一直线上；

（2）至少有一个元素；

（3）时，一定有.

Answer 1

【答案】（1）正确（2）正确（3）不正确

【解析】

（1）正确.证明如下：

∵，∴.

这说明适合方程.因此，对于，以为坐标的点在直线上.

（2）正确.证明如下：

设，由（1）知，是方程组

的解.①代入②并整理，得

.

当时，上述方程无解，从而.

当时，.

从而，上述方程组恰有一个解.

于是，至多有一个元素.

（3）不正确.举例如下：

取，，此时若有，则存在，由（2）有.另一方面，对一切，，所以.这与矛盾.因此，，时，.