Question

5．在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若a²+b²=2018c²，则$\frac{2sinAsinBcosC}{{1-{{cos}^2}C}}$=2017．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosC，把已知等式代入得到关系式，记作①，利用正弦定理化简，整理即可得出所求式子结果．

解答 解：在△ABC中，∵a²+b²=2018c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{2017{c}^{2}}{2ab}$，即2abcosC=2017c²，①
由正弦定理 $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2R，得到a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入①得：2•2RsinA•2RsinBcosC=2017•4R²sin²C，即2sinAsinBcosC=2017sin²C=2017（1-cos²C），
则 $\frac{2sinAsinBcosC}{{1-{{cos}^2}C}}$=2017．
故答案为：2017．

点评 此题考查了余弦定理，正弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．