Question

14．已知函数f（x）=|x-a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．
（1）求a+b的值；
（2）若$m≤\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）写出分段函数，得出f（x）_min=a+b，即可求a+b的值；
（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据$m≤\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$恒成立，求实数m的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x+a-2b，x≤-b\\ x+a+2b，-b＜x＜a\\ 3x-a+2b，x≥a.\end{array}\right.$
f（x）在区间（-∞，-b]上递减，在区间[-b，+∞）上递增，
所以f（x）_min=a+b．
所以a+b=1．
（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，
所以$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=（{a+b}）（{\frac{1}{a}+\frac{2}{b}}）=3+\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}$，
又因为$3+\frac{b}{a}+\frac{2a}{b}≥3+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{2a}{b}}$，当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}$时，等号成立，
所以$a=\sqrt{2}-1，b=2-\sqrt{2}$时，$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$有最小值$3+2\sqrt{2}$．
所以$m≤3+2\sqrt{2}$，所以实数m的最大值为$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查绝对值函数，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．