Question

10．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t为参数），椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosϕ\\ y=\sqrt{5}sinϕ\end{array}$（φ为参数），F为椭圆C的右焦点．
（1）当α=$\frac{π}{4}$时，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的转化方法，求直线l和曲线C的极坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|FA|•|FB|的最大值与最小值．

解答 解：（1）当α=$\frac{π}{4}$时，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$的普通方程为x-y-2=0，极坐标方程为ρcosα-ρsinα-2=0；
椭圆C：$\left\{\begin{array}{l}x=3cosϕ\\ y=\sqrt{5}sinϕ\end{array}$（φ为参数）的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1，极坐标方程为5ρ²cos²α+9ρ²sin²α=45．（5分）
（2）将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：（5+4sin²α）t²+20tcosα-25=0．
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t₁，t₂，则
|FA|•|FB|=|t₁t₂|=$\frac{25}{5+4si{n}^{2}α}$．
当sinα=0时，|FA|•|FB|取最大值5；
当sinα=±1时，|FA|•|FB|取最小值$\frac{25}{9}$．…（5分）

点评 本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，正确运用参数的几何意义是关键．