Question

1．过抛物线y²=mx（m＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为点C，若$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$的值为（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$m²
• B． $\frac{3}{2}$m²
• C． -6m²
• D． 12m²

Answer 1

分析 设抛物线准线与x轴相交于点E，由$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，可得EF是△ABC的中位线．利用三角形中位线定理可得：|AC|=2×$\frac{m}{2}$，由抛物线定义可得：x_A+$\frac{m}{4}$=m，解得x_A，代入抛物线方程可得y_A．因此A$（\frac{3}{4}m，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$，C$（-\frac{m}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$．可得直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$$（x-\frac{m}{4}）$，可得B点坐标．再利用向量数量积运算性质即可得出．

解答 解：设抛物线准线与x轴相交于点E，F$（\frac{m}{4}，0）$．
∵$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{FB}$，∴EF是△ABC的中位线．
由三角形中位线定理可得：|AC|=2×$\frac{m}{2}$，∴x_A+$\frac{m}{4}$=m，解得x_A=$\frac{3}{4}$m，∴y_A=$\sqrt{m×\frac{3}{4}m}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．
∴A$（\frac{3}{4}m，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$，C$（-\frac{m}{4}，\frac{\sqrt{3}}{2}m）$．
直线l的方程为：y-0=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}m-0}{\frac{3}{4}m-\frac{m}{4}}$（x-$\frac{m}{4}$），化为：y=$\sqrt{3}$$（x-\frac{m}{4}）$，
令x=-$\frac{m}{4}$，解得y_B=-$\frac{\sqrt{3}m}{2}$．∴B$（-\frac{m}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}m）$．
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=$（-\frac{m}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}m）$•$（0，\sqrt{3}m）$=-$\frac{3}{2}{m}^{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、三角形中位线定理、向量数量积运算性质式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．