Question

12．设函数f（x）=lnx+a（x²-3x+2），其中a∈R．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，对?x＞1，f（x）≥0成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定函数的单调区间，从而求出a的最大值即可．

解答 解：（1）当a=1，f（x）=lnx+x²-3x+2，定义域为（0，+∞）…（1分），
$f'（x）=\frac{1}{x}+2x-3=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$…（2分）
令f′（x）＞0，解得$0＜x＜\frac{1}{2}或x＞1$…（3分）
令f′（x）＜0，解得$\frac{1}{2}＜x＜1$…（4分）
所以函数f（x）的单调增区间有$（0，\frac{1}{2}）$和（1，+∞），单调减区间为$（\frac{1}{2}，1）$…（5分）
（2）$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）$=$\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，因为a＞0
令g（x）=2ax²-3ax+1，g（x）的对称轴$x=\frac{3}{4}$，…（6分）
①当$g（\frac{3}{4}）≥0$时，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，x∈（0，+∞），g（x）≥0，
所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，
x＞1，f（x）＞f（1）=0，即$0＜a≤\frac{8}{9}$，对?x＞1，f（x）≥0成立；          …（8分）
②当$g（\frac{3}{4}）＜0$时，即$a＞\frac{8}{9}$，g（x）=2ax²-3ax+1=0的两根为：
$x_1^{\;}=\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞0$，且0＜x₁＜x₂…（9分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}≤1$，即$\frac{8}{9}＜a≤1$时x∈（1，+∞）时，
f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，
又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意；              …（10分）
若$x_2^{\;}=\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＞1$，即a＞1时，
$0＜\frac{{3a-\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}＜1$$＜\frac{{3a+\sqrt{9{a^2}-8a}}}{4a}$，即0＜x₁＜1＜x₂
由f（1）=0，函数f（x）在（x₁，x₂）单调递减，
所以x∈（1，x₂）时，f（x）＜f（1）=0不符合题意                              …（11分）
综上所述，a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．