Question

7．（文科做）已知函数f（x）=x-$\frac{2a}{x}$-（a+2）lnx，其中实数a≥0．
（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；
（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数在闭区间上的最值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x-2lnx，∴f′（x）=$\frac{x-2}{x}$，
令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f'（x）		-	0	+
f（x）	1	↘	2-2ln2	↗	3-2ln3

从上表可知，
∵f（3）-f（1）=2-2ln3＜0，∴f（1）＞f（3），
函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是1，最小值为2-2ln2；
（2）$f'（x）=1+\frac{2a}{x^2}-\frac{a+2}{x}=\frac{{{x^2}-（a+2）x+2a}}{x^2}=\frac{（x-2）（x-a）}{x^2}$，
①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；
②当a=2时，∵$f'（x）=\frac{{{{（x-2）}^2}}}{x^2}＞0（x≠2）$，
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；
综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；
当a=2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．