Question

4．曲线C上任一点P与两点F₁（-2，0），F₂（2，0）连线的斜率乘积为-$\frac{1}{2}$．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点M（1，1）的直线与曲线C交于A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）分别求出点P和两点的斜率，根据题目条件列式求解，即可求得C的方程．
（2）直线和椭圆联立方程，利用中点公式求得斜率，求AB的方程．

解答 解：（1）设P点坐标为（x，y）则P与（-2，0）的斜率k₁=$\frac{y-0}{x+2}$=$\frac{y}{x+2}$，
与（2，0）的斜率k₂=$\frac{y-0}{x-2}$=$\frac{y}{x-2}$，且x≠±2，
∴k₁•k₂=$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，且x≠±2，
求曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，且x≠±2；
（2）①∵点M（1，1）在椭圆内，
∴当斜率不存在时，直线方程为x=1，但是M（1，1）不是AB中点，故不合题意．
②直线斜率存在，设直线方程为y=k（x-1）+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4k（k-1）x+2（k-1）²-4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{2（k-1）^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
∵M点是线段AB的中点，
∴2=$\frac{4k（k-1）}{1+2{k}^{2}}$，k=-$\frac{1}{2}$，
直线方程为y=-$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查了轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题，属常考题型，中档题．