Question

20．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公差不为0，数列{b_n}满足b_n=（a_n-1）2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据条件利用等比数列的公式，求出公差，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求得数列{b_n}的通项公式，采用乘以公比错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）等差数列{a_n}公差为d，首项为a₁，
∵a₁，a₃，a₇成等比数列．
∴a₃²=a₁a₇，
即（a₁+2d）²=a₁（a₁+6d），
化简得d=$\frac{1}{2}$a₁，或d=0．
当d=$\frac{1}{2}$a₁，S₃=3a₁+$\frac{3×2}{2}$×$\frac{1}{2}$a₁=9，得a₁=2，d=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）=n+1，即a_n=n+1，
数列{a_n}的通项公式a_n=n+1；
当d=0时，S₃=3a₁=9，a₁=3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3；
（2）若数列{a_n}的公差不为0，a_n=n+1，
b_n=（a_n-1）2ⁿ=（n+1-1）2ⁿ=n2ⁿ，
∴b_n=n•2ⁿ，
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
两式相减：得-T_n=2+2²+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查采用错位相减法求数列的前n项和，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．