Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱长都为a，P为线段A₁B上的动点．
（Ⅰ）试确定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当

PC⊥AB

时，作P在AB射影D，连结CD．AB⊥面PCD，AB⊥CD．D是AB中点．PD∥AA₁，P也是A₁B中点．所以A₁P：PB=1．
（Ⅱ）作P在AB上的射影D．则PD底面ABC．作D在AC上的射影E，连结PE，则PE⊥AC．∠DEP为二面角P-AC-B的平面角．

解答：（Ⅰ）当

PC⊥AB

时，作P在AB射影D，连结CD．AB⊥面PCD，
∴AB⊥CD．D是AB中点．
∵PD∥AA₁，所以P也是A₁B中点．所以A₁P：PB=1．
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3时，作P在AB上的射影D．则PD底面ABC．
作D在AC上的射影E，连结PE，则PE⊥AC．
∴∠DEP为二面角P-AC-B的平面角．
又∵PD∥AA₁，∴

BD

DA

=

BP

PA1

=

3

2

，∴AD=

2

5

a．∴DE=ADsin60°=

3 a

5

又∵

PD

AA1

=

3

5

，∴PD=

3

5

a．
∴tan∠DEP=

PD

DE

=

3

，
∴二面角P-AC-B的大小为60°

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力