Question

【题目】已知点A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜0）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P（1，﹣ ），若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]2﹣f（x）+m=0在x∈（ ， ）内有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：角φ的终边经过点P（1，﹣ ），tanφ=﹣ ，∵﹣ ＜φ＜0，∴φ=﹣ ．

由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为 ，得T= ，即 = ，∴ω=3．

∴f（x）=2sin（3x﹣ ）

（2）解：∵x∈（ ， ），

∴3x﹣ ∈（0，π），

∴0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，

问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根．

∵﹣m=3t2﹣t，t∈（0，2）． 作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象．

∵t= 时，y=﹣ ；t=0时，y=0；t=2时，y=10．

∴当﹣m=﹣ 或0≤﹣m＜10时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．

∴m的取值范围是：m= 或﹣10＜m≤0．

【解析】（1）由题意，先求tanφ=﹣ ，根据φ的范围，可求φ的值，再求出函数的周期，再利用周期公式求出ω的值，从而可求函数解析式．（2）由x∈（ ， ），可得0＜sin（3x﹣ ）≤1．设f（x）=t，问题等价于方程3t2﹣t+m=0在（0，2）仅有一根或有两个相等的根，作出曲线C：y=3t2﹣t，t∈（0，2）与直线l：y=﹣m的图象，讨论即可得解m的求值范围．