Question

【题目】已知动点P是△PMN的顶点，M（﹣2，0），N（2，0），直线PM，PN的斜率之积为﹣ ．

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）设四边形ABCD的顶点都在曲线E上，且AB∥CD，直线AB，CD分别过点（﹣1，0），（1，0），求四边形ABCD的面积为时，直线AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）（x≠±2）；（2）x±y+1＝0．

【解析】

（1）设点P(x，y)，直接把已知条件用坐标表示并化简即可；

（2）设直线AB的方程为x＝my﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线与椭圆相交弦长公式（应用韦达定理计算）求出弦长，交求出原点到直线距离，表示出面积，由对称性知四边形ABCD的面积是面积的4倍，从而可以求出．

解：（1）设点P(x，y)，

∵直线PM与PN的斜率之积为﹣，

即＝＝﹣，

化简得（x≠±2），

∴动点P的轨迹E的方程为(x≠±2)；

（2）设直线AB的方程为x＝my﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得(3m2+4)y2﹣6my﹣9＝0，

则 ， y1+y2＝，，

|y1﹣y2|＝＝，

∴|AB|＝＝，

又原点O到直线AB的距离d＝，

∴S△ABO＝×＝，

由图形的对称性可知，SABCD＝4S△ABO，

∴SABCD＝＝，

化简得18m4﹣m2﹣17＝0，

解得m2＝1，即m＝±1，

∴直线AB的方程为x＝±y﹣1，即x±y+1＝0．