Question

【题目】已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

分析：（1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a-1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a-1＞1时讨论函数的增减性；（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x1＞x2＞0时有g（x1）-g（x2）＞0即可得证．

详解：

（1）的定义域为.

.

（i）若即，则，故在上单调递增.

（ii）若，而，故，则当时，；

当及时，，

故在单调递减，在，单调递增.

（iii）若即，同理可得在单调递减，在，单调递增.

（2）考虑函数，

则

由于，故，即在单调增加，从而当时有，即，故，

当时，有.