Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）设点，为曲线上的动点，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）在直线的参数方程中消去，可得出直线的普通方程，由可将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设点，求出直线的普通方程，利用点到直线的距离公式结合三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可求得点到直线距离的最大值，进而可求得面积的最大值.

（1）直线的参数方程为（为参数），消去参数得，

所以，直线的普通方程为.

曲线的极坐标方程是，即，

化为普通方程得，即，即.

因此，曲线的直角坐标方程为；

（2）点，所以的直线方程为.

点为上任意一点，设点的坐标为，

所以点到直线的距离，其中由，来确定.

当时，，

所以面积的最大值为.