Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）符合条件的点存在，其坐标为

解析:

（1）设椭圆的方程为，由已知得 ，，，

椭圆的方程为 ．

（2）法一：假设存在符合条件的点，又设，则：

 

①当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，则由，

得，即，

，

，

所以 ，

对于任意的值，为定值，所以，得，

所以；

②当直线的斜率不存在时，直线，由得．

综上述①②知，符合条件的点存在，起坐标为．

法二：假设存在符合条件的点，又设则：

，

=．

①当直线的斜率不为时，设直线的方程为，由，得，

，

．

设则

，，．

②当直线的斜率为时，直线，由得：

．

综上述①②知，符合条件的点存在，其坐标为．