Question

已知的三个顶点，，，其外接圆为．

(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；

(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．

Answer 1

 (1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，

所以外接圆圆心，半径，

圆的方程为．    …

设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为2，所以．

当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；

当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则

，解得，

综上，直线的方程为或．  

(2)直线的方程为，设，

因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，

所以即

因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，

为半径的圆有公共点，所以,

又，所以对]成立．

而在[0，1]上的值域为[，10]，所以且．

又线段与圆无公共点，所以对成立，即.

故圆的半径的取值范围为．  …