Question

18．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f[tx-（t-1）m]-tf（x），（其中m，t为常数且0＜t＜1，m＞0）．
（Ⅰ）求g（x）的极值；
（Ⅱ）?n＞0，是否存在x₀＞0，使得|$\frac{{f（{x_0}+1）}}{x_0}-1}$|＜n成立，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的表达式，求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）问题转化为求$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{ln（x+1）}{x}$的极限值是1，求出其极限值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx，f[tx-（t-1）m]=ln[tx-（t-1）m]，
∴g（x）=ln[tx-（t-1）m]-tlnx，（x＞0），
∴g′（x）=$\frac{t}{tx-（t-1）m}$-$\frac{t}{m}$=$\frac{-t（t-1）（x-m）}{x[tx-（t-1）m]}$，
∵0＜t＜1，m＞0，∴-t（t-1）＞0，tx-（t-1）m＞0，
令g′（x）＞0，解得：x＞m，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜m，
∴g（x）在（0，m）递减，在（m，+∞）递增，
∴g（x）_极小值=g（m）=（1-t）lnm；
（Ⅱ）若?n＞0，存在x₀＞0，使得|$\frac{{f（{x_0}+1）}}{x_0}-1}$|＜n成立，
即求x→0⁺时，$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{ln（x+1）}{x}$的极限值是1，
而$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{ln（x+1）}{x}$=$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{\frac{1}{x+1}}{1}$=$\underset{lim}{x{→0}^{+}}$$\frac{1}{x+1}$=1，
故?n＞0，存在x₀＞0，使得|$\frac{{f（{x_0}+1）}}{x_0}-1}$|＜n成立．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及求函数的极限值，是一道中档题．