Question

【题目】已知动点满足：.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，，试问在曲线上是否存在点，使得四边形（为坐标原点）为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1）由椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，且，，进而可得其方程；（2）设直线的方程为，先根据，可得，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得，②，将①代入②可得，该方程无解，问题得以解决.

（1）由已知，动点到点，的距离之和为4，且，

所以动点的轨迹为椭圆，

且，，所以，

所以动点的轨迹的方程为.

（2）由题意知的斜率存在且不为零，

设直线的方程为，

∵，∴，即，①

联立消可得，

设，，∴，，

∴，

∵四边形为平行四边形，故，

∴，整理可得，②，

将①代入②可得，该方程无解，故这样的直线不存在.