Question

【题目】已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（ ）

A.的最小值为

B.使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线

C.函数至少存在一个零点

D.使得曲线在点处的切线也是曲线的切线

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

求出、两点的坐标，得出关于的函数表达式，利用导数求出的最小值，即可判断出A选项的正误；解方程，可判断出B选项的正误；利用导数判断函数的单调性，结合极值的符号可判断出C选项的正误；设切线与曲线相切于点，求出两切线的方程，得出方程组，判断方程组是否有公共解，即可判断出D选项的正误.进而得出结论.

令，得，令，得，

则点、，如下图所示：

由图象可知，，其中，

令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，，A选项正确；

，，则，，

曲线在点处的切线斜率为，

曲线在点处的切线斜率为，

令，即，即，

则满足方程，所以，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，B选项正确；

构造函数，可得，

函数在上为增函数，由于，，

则存在，使得，可得，

当时，；当时，.

，

所以，函数没有零点，C选项错误；

设曲线在点处的切线与曲线相切于点，

则曲线在点处的切线方程为，即，

同理可得曲线在点处的切线方程为，

所以，，消去得，

令，则，

函数在上为减函数，，，

则存在，使得，且.

当时，，当时，.

所以，函数在上为减函数，，，

由零点存在定理知，函数在上有零点，

即方程有解.

所以，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.

故选：ABD.