【题目】已知圆经过
,
,
三点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若过点N 的直线
被圆
截得的弦AB的长为
,求直线
的倾斜角.
【答案】(1) (2) 30°或90°.
【解析】
(1)解法一:将圆的方程设为一般式,将题干三个点代入圆的方程,解出相应的参数值,即可得出圆的一般方程,再化为标准方程;
解法二:求出线段和
的中垂线方程,将两中垂线方程联立求出交点坐标,即为圆心坐标,然后计算
为圆的半径,即可写出圆
的标准方程;
(2)先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为
,并对直线
的斜率是否存在进行分类讨论:一是直线
的斜率不存在,得出直线
的方程为
,验算圆心到该直线的距离为
;
二是当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,并表示为一般式,利用圆心到直线的距离为
得出关于
的方程,求出
的值。结合前面两种情况求出直线
的倾斜角。
(1)解法一:设圆的方程为
,
则 ∴
即圆为
,
∴圆的标准方程为
;
解法二:则中垂线为
,
中垂线为
,
∴圆心满足
∴
,
半径,
∴圆的标准方程为
.
(2)①当斜率不存在时,即直线到圆心的距离为1,也满足题意,
此时直线的倾斜角为90°,
②当斜率存在时,设直线的方程为
,
由弦长为4,可得圆心 到直线
的距离为
,
,
∴,此时直线
的倾斜角为30°,
综上所述,直线的倾斜角为30°或90°.
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【题目】已知函数,下列命题正确的有_______.(写出所有正确命题的编号)
①是奇函数;
②在
上是单调递增函数;
③方程有且仅有1个实数根;
④如果对任意,都有
,那么
的最大值为2.
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【题目】已知圆经过
两点,且圆心
在直线
上.
(1)求圆的方程;
(2)已知过点的直线
与圆
相交截得的弦长为
,求直线
的方程;
(3)已知点,在平面内是否存在异于点
的定点
,对于圆
上的任意动点
,都有
为定值?若存在求出定点
的坐标,若不存在说明理由.
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【题目】给出下列四个命题:①命题“若,则
”的逆否命题为假命题:
②命题“若,则
”的否命题是“若
,则
”;
③若“”为真命题,“
”为假命题,则
为真命题,
为假命题;
④函数有极值的充要条件是
或
.
其中正确的个数有( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x﹣1|,a∈R.
(I)当a=3时,求关于x的不等式f(x)≤6的解集;
(II)当x∈R时,f(x)≥a2﹣a﹣13,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,棱长为1(单位:)的正方体木块经过适当切割,得到几何体
,已知几何体
由两个底面相同的正四棱锥组成,底面
平行于正方体的下底面,且各顶点均在正方体的面上,则几何体
体积的取值范围是________(单位:
).
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【题目】某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形(边长为2个单位)的顶点
处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为
,则棋子就按逆时针方向行走
个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点
处的所有不同走法共有( )
A. 22种 B. 24种 C. 25种 D. 27种
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【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,短轴长为
,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过右焦点与
轴不垂直的直线与椭圆交于
、
两点.在线段
上是否存在点
,使得以
、
为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出
的取值范围;若不存在,
请说明理由;
(3)设点在椭圆上运动,
,且点
到直线
的距离等于
,试求动点
的轨
迹方程.
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