Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，,,分别为的中点，点在线段上．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．

【解析】

试题（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直底面，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质得，即得平面.同理，得平面，最后根据线面平行证得面面平行平面平面，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由底面，所以底面，所以

试题解析：（1）证明：在平行四边形中，因为，，

所以.

由分别为的中点，得，

所以.

因为侧面底面，且，

所以底面.

又因为底面，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面.

（2）证明：因为为的中点，分别为的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

同理，得平面，又因为，

平面，

平面，

所以平面平面，

又因为平面，

所以平面.

（3）在中，过作交于点，

由，得，

又因为，所以，

因为底面，所以底面，

所以四棱锥的体积

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