[题目]若存在集合A.B满足..则称为的一个二分划.①设..判断是否为的一个二分划.说明理由.②是否能找到的一个二分划满足集合A中不存在三个成等比数列的数,集合B中不存在无穷的等比数列?说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】若存在集合A、B满足，，则称为的一个二分划.①设，，判断是否为的一个二分划，说明理由.

②是否能找到的一个二分划满足集合A中不存在三个成等比数列的数；集合B中不存在无穷的等比数列？说明理由.

【答案】见解析

【解析】

①因为所以，故不是的一个二分划.

②能找到.

正整数集中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对来表示，其中，a为数列的首项，q为数列的公比.反之，每一对也唯一地表示一个无穷等比数列.

正整数数对可排序如下将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为先在中任取一个数；在中取数，使得；在中任取，使得，在中取数，使得；一般地，在中取数，使得.如此得到正整数由这些数组成集合A，并令可以证明上述构造的A和B满足题设和.

首先，中每一个无穷等比数列中至少有一项集合A中，于是，集合B中不存在无穷等不数列.其次证明集合A中不存在三数成等比数列.任取不妨设则，但由集合A的取法知从而，不成等比数列.因此，集合A中不存在三个成等比数列的数.

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