Question

【题目】函数，，已知函数，的图象存在唯一的公切线.

（1）求的值；

（2）当，时，证明：关于的不等式在上有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由题意易知两函数图象有唯一公共点，设为，从而得，解方程即可；

（2）根据条件可得在上有解，令，，然后利用导数求函数的最值，即可得解.

（1）函数的图象存在唯一的公切线等价于的图象有唯一的公共点，且在处的切线重合，设，

所以

所以，.

（2）证明：关于的不等式在上有解关于的不等式在上有解.

令，，

则，，

所以，，

因为，，且，在时单调递增，

所以在时单调递增，

因为，，

所以存在唯一，使得，

即，且.

所以在取得最小值

，

所以在上单调递增，

所以，

即的值域为，

所以当时，

关于的不等式在上有解，

即证得，当，时，关于的不等式在上有解.