Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角C₁-AB-C的平面角等于（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，则

AB

=(0，1，0)，

AC1

=(-1，1，1)，求出设面ABC₁的法向量

n1

=(1，0，1)，面ABC的法向量

n2

=(0，0，1)，由向量法能求出二面角C₁-AB-C的平面角．

解答：解：如图，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

AB

=(0，1，0)，

AC1

=(-1，1，1)，
设面ABC₁的法向量为

n1

=(x，y，z)，
∵

n1

•

AB

=0，

n1

•

AC1

=0，
∴

y=0 -x+y+z=0

，∴

n1

=(1，0，1)，
∵面ABC的法向量

n2

=(0，0，1)，
设二面角C₁-AB-C的平面角为θ，
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|
=|

1

2

|=

2

2

，
∴θ=45°，
故选B．

点评：本题考查二面角的平面角及求法，是基础题．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．