Question

16．函数f（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-x）的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数求解最值．

解答 解：f（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-x）
=$3（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）$$+\sqrt{3}（sin\frac{π}{3}cosx-cos\frac{π}{3}sinx）$
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{3}{2}cosx+\frac{3}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$=$\sqrt{3}sinx+3cosx$
=$2\sqrt{3}（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）$=$2\sqrt{3}sin（x+\frac{π}{3}）$，
又$sin（x+\frac{π}{3}）$的最大值是1，
∴函数f（x）=3sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-x）的最大值是$2\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，考查计算能力，是基础题．