Question

已知f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a，a∈R．
（1）若f（x）有最大值为2，求实数a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简函数f（x）的解析式，根据已知即可求实数a的值；
（2）根据函数f（x）的解析式，根据正弦函数的图象和性质即可求出函数y=f（x）的单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²x+

3

sin2x+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=1+a+2sin（2x+

π

6

）
∵f（x）有最大值为2，2sin（2x+

π

6

）的最大值为2，
∴1+a=0，解得a=-1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，可解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∴函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
函数y=f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．