Question

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列。
（1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；
（2）设数列的前项和为，且．
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，，数列的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，   说明理由；

Answer 1

解：（1）由数列是周期为的周期数列，
且，即， …………4分
（2）当时，，又得．……………………………5分
当时，，
即或．……………………………6分
①由有，则为等差数列，即，
由于对任意的都有，所以不是周期数列……………………………8分
②由有，数列为等比数列，即，
即对任意都成立，
即当时是周期为2的周期数列。…………………………10分
（3）假设存在，满足题设。
于是又则
所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为，……………………12分
则，              ………………14分
当时，
当时，
当时，
综上，                            ……………16分
为使恒成立，只要，即可，
综上，假设存在，满足题设，，。………………18分

略