Question

8．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x₀∈I，使得f（x₀）=x₀，则称x₀为函数y=f（x）的不动点；若存在x₀∈I，使得f（f（x₀））=x₀，则称x₀为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是①②⑤．（填上所有正确结论的序号）
①-$\frac{1}{2}$，1是函数g（x）=2x²-1有两个不动点；
②若x₀为函数y=f（x）的不动点，则x₀必为函数y=f（x）的稳定点；
③若x₀为函数y=f（x）的稳定点，则x₀必为函数y=f（x）的不动点；
④函数g（x）=2x²-1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

Answer 1

分析 利用新定义直接判断①②的正误；通过求解方程的解，判断③④不满足新定义；⑤通过分类讨论判断满足新定义．

解答 解：对于①，令g（x）=x，可得x=$-\frac{1}{2}$或x=1，故①正确；
对于②，因为f（x₀）=x₀，所以f（f（x₀））=f（x₀）=x₀，即f（f（x₀））=x₀，故x₀也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
对于③④，g（x）=2x²-1，令2（2x²-1）²-1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=-$\frac{1}{2}$，1，
由此因式分解，可得（x-1）（2x+1）（4x²+2x-1）=0
还有另外两解$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$，故函数g（x）的稳定点有-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$，其中$\frac{-1±\sqrt{5}}{4}$是稳定点，但不是不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x₀，显然它也有稳定点x₀；
若函数y=f（x）有稳定点x₀，即f（f（x₀））=x₀，设f（x₀）=y₀，则f（y₀）=x₀
即（x₀，y₀）和（y₀，x₀）都在函数y=f（x）的图象上，
假设x₀＞y₀，因为y=f（x）是增函数，则f（x₀）＞f（y₀），即y₀＞x₀，与假设矛盾；
假设x₀＜y₀，因为y=f（x）是增函数，则f（x₀）＜f（y₀），即y₀＜x₀，与假设矛盾；
故x₀=y₀，即f（x₀）=x₀，y=f（x）有不动点x₀，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．