Question

【题目】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是________________

Answer 1

【答案】

【解析】

可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得PA+PB的最大值．

由题意可得A（0，0），由于直线mx﹣y﹣m+3=0，即 m（x﹣1）﹣y+3=0，显然经过定点B（1，3），

注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．

设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ．

∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]，

∴|PA|+|PB|=sinθ+cosθ=2[sinθ+cosθ）=2sin（θ+），

∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴当θ+=时，2sin（θ+）取得最大值为 2，

故答案为：2．