Question

【题目】已知函数f（x）= sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣ （ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c= ，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

【答案】解：f（x）= sin2ωx﹣ （1+cos2ωx）﹣ =sin（2ωx﹣ ）﹣1，
∵f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴ =π，即ω=1，
则f（x）=sin（2x﹣ ）﹣1，
（Ⅰ）令﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ，k∈Z，得到﹣ +kπ≤x≤kπ+ ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，kπ+ ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=0，得到f（C）=sin（2C﹣ ）﹣1=0，即sin（2x﹣ ）=1，
∴2C﹣ = ，即C= ，
由正弦定理 = 得：b= ，
把sinB=3sinA代入得：b=3a，
由余弦定理及c= 得：cosC= = = ，
整理得：10a2﹣7=3a2 ，
解得：a=1，
则b=3．
【解析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．
【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式和正弦函数的单调性的相关知识点，需要掌握两角和与差的正弦公式：；正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数才能正确解答此题．