Question

【题目】已知m、n∈R+ ， f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若f（x）的最小值为2，证明：4（m2+ ）的最小值为8．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：m、n∈R+，

当x≥ 时，f（x）=x+m+2x﹣n=3x+m﹣n，当x= 时，取得最小值m+ ；

当﹣m≤x≤ 时，f（x）=x+m+n﹣2x=﹣x+m+n，当x= 时，取得最小值m+ ；

当x≤﹣m时，f（x）=﹣（x+m）﹣（2x﹣n）=﹣3x﹣m+n，当x=﹣m时，取得最小值2m+n．

∵2m+n﹣ =m+ ＞0．

∴x= 时，f（x）的最小值为m+

（2）解：证明：由（1）可知：m+ =2，m、n∈R+，

∴4（m2+ ）≥2 =8，当且仅当m= =1时取等号

【解析】（1）对x与﹣m， 的大小关系分类讨论，利用一次函数的单调性即可得出．（2）利用不等式的基本性质即可得出．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．