Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且对任意正整数n都有an是n与Sn的等差中项，bn=an+1．
（1）求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项bn；
（2）若数列{Cn}满足Cn= 且数列{C }的前n项和为Tn ， 证明Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an是n与的等差中项，

2an=n+Sn，

∴2an﹣1=n﹣1+Sn﹣1，（n≥2），

两式相减得：2an﹣2an﹣1=1+an，

an=2an﹣1+1，（n≥2），

∴an+1=2（an﹣1+1），

∴bn=2bn﹣1，

=2，当n=1，2a1=1+S1，

∴a1=1，b1=2，

∴数列{bn}是等比数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

bn=2n，

（2）证明：数列{Cn}满足Cn= = ，

∴C = ，

当n=1时，T1= =1＜2，命题成立，

当n≥2， ，

＜1+ + +…+ ，

=1+1﹣ + ﹣ +…+ ，

=2﹣ ＜2，命题成立．

【解析】（Ⅰ）由an是n与Sn的等差中项，2an=n+Sn ， 当n≥2，2an﹣1=n﹣1+Sn﹣1 ， 相减得：2an﹣2an﹣1=1+an ， 化简整理得：an+1=2（an﹣1+1），bn=2bn﹣1 ， b1=2，数列{bn}是等比数列是以2为首项，2为公比的等比数列；（Ⅱ）数列{Cn}满足Cn= ，C = ，分类当n=1， =1＜2命题成立，当n≥2时， ＜1+ + +…+ ，采用裂项法，求得Tn=2﹣ ＜2，命题成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．