【题目】已知函数在
处有极大值
,则
的值为( )
A. B.
C.
或
D.
或
【答案】B
【解析】
先求函数的导函数,由题意可得f(1)=10,且f′(1)=0,解a,b的方程,再根据极大值的概念,检验a,b的值,进而求得 的值.
函数f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a的导函数为f′(x)=3x2+2ax+b,
由在x=1处取得极大值10,可得即
解得a=-2,b=1或a=-6,b=9.
当a=-2,b=1时,f′(x)=3x2-4x+1=(x-1)(3x-1),
当<x<1时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
可知f(x)在x=1处取得极小值10;
当a=-6,b=9时,f′(x)=3x2-12x+9=(x-1)(3x-9),
当x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当3>x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递减;
可知f(x)在x=1处取得极大值10.
综上可得,a=-6,b=9满足题意.
则 .故选:B
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一点.
(Ⅰ)若BM=2MP,求证:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为 ,求
的值.
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【题目】给出以下四个命题:
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;②若a>b,则am2>bm2;③在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B;④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【题目】已知圆锥曲线 E: .
(I)求曲线 E的离心率及标准方程;
(II)设 M(x0 , y0)是曲线 E上的任意一点,过原点作⊙M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8的两条切线,分别交曲线 E于点 P、Q.
①若直线OP,OQ的斜率存在分别为k1 , k2 , 求证:k1k2=﹣ ;
②试问OP2+OQ2是否为定值.若是求出这个定值,若不是请说明理由.
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【题目】已知m、n∈R+ , f(x)=|x+m|+|2x﹣n|.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)的最小值为2,证明:4(m2+ )的最小值为8.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查,如下表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.
平均每天锻炼的时间(分钟) | ||||||
总人数 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过
的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)从上述200名学生中,按“课外体育达标”、“课外体育不达标”分层抽样,抽取4人得到一个样本,再从这个样本中抽取2人,求恰好抽到一名“课外体育不达标”学生的概率.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知函数f(x)=ex(e=2.71828…),g(x)为其反函数.
(1)求函数F(x)=g(x)﹣ax的单调区间;
(2)设直线l与f(x),g(x)均相切,切点分别为(x1 , f(x1)),(x2 , f(x2)),且x1>x2>0,求证:x1>1.
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