【题目】如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.
(1)求证AM∥平面BDE;
(2)求二面角A﹣DF﹣B的大小;
(3)试在线段AC上一点P,使得PF与CD所成的角是60°.
【答案】
(1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD=N,连接NE,
则点N、E的坐标分别是 、(0,0,1),
∴ =
,
又点A、M的坐标分别是
、
∴ =
∴ =
且NE与AM不共线,
∴NE∥AM
又∵NE平面BDE,AM平面BDE,
∴AM∥平面BDF
(2)解:∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF∩AD=A,
∴AB⊥平面ADF
∴ 为平面DAF的法向量
∵ =
=0,
∴ =
=0得
,
∴NE为平面BDF的法向量
∴cos< >=
∴ 的夹角是60°
即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°
(3)解:设P(x,x,0), ,
,则
cos =|
|,解得
或
(舍去)
所以当点P为线段AC的中点时,直线PF与CD所成的角为60°
【解析】(I)以C为坐标原点,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,进而求出直线AM的方向向量及平面BDE的法向量,易得这两个向量垂直,即AM∥平面BDE;(2)求出平面ADF与平面BDF的法向量,利用向量夹角公式求出夹角,即可得到二面角A﹣DF﹣B的大小;(3)点P为线段AC的中点时,直线PF与CD所成的角为60°,我们设出点P的坐标,并由此求出直线PF与CD的方向向量,再根据PF与CD所成的角是60°构造方程组,解方程即可得到结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用向量语言表述线线的垂直、平行关系和用空间向量求直线间的夹角、距离的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握设直线的方向向量分别是
,则要证明
∥
,只需证明
∥
,即
;则要证明
,只需证明
,即
;已知
为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
.
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【题目】某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部
竞选.
(Ⅰ)设所选3人中女生人数为,求
的分布列及数学期望;
(Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.
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【题目】某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2018年足球世界杯比赛的情况,从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查,情况如下表:
打算观看 | 不打算观看 | |
女生 | 20 | b |
男生 | c | 25 |
(1)求出表中数据b,c;
(2)判断是否有99%的把握认为观看2018年足球世界杯比赛与性别有关;
(3)为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种,我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的.现有问题:在打算观看2018年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三(5)班,从中推选5人接受校园电视台采访,请根据上述方法,求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率.
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【题目】如图所示,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一点.
(Ⅰ)若BM=2MP,求证:PD∥平面MAC;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求证:PA⊥平面ABCD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若二面角B﹣AC﹣M的余弦值为 ,求
的值.
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【题目】设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 且x∈(0,+∞)时,f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,则实数a的取值范围为( )
A.[1,+∞)
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)
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【题目】已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1 , a3 , a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则 (n∈N+)的最小值为( )
A.4
B.3
C.2 ﹣2
D.
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【题目】设f(x)=sin( x﹣
)﹣2cos2
x+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线x=1对称,求当x∈[0, ]时,y=g(x)的最大值.
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【题目】给出以下四个命题:
①若ab≤0,则a≤0或b≤0;②若a>b,则am2>bm2;③在△ABC中,若sinA=sinB,则A=B;④在一元二次方程ax2+bx+c=0中,若b2-4ac<0,则方程有实数根.其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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【题目】已知m、n∈R+ , f(x)=|x+m|+|2x﹣n|.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)的最小值为2,证明:4(m2+ )的最小值为8.
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