Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法设出指数函数的解析式，根据所给条件g（3）=8，列出方程，求出a的值，即可得到y=g（x）的解析式；
（2）求出f（x）的解析式，根据f（x）为奇函数，得到f（0）=0，f（-1）=-f（1），列出方程，即可得到m，n的值；
（3）判断出f（x）的单调性，结合f（x）的奇偶性，将不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，转化为2t-3t²＜k-t²对任意的t∈R恒成立，利用二次函数的性质，列出不等关系，求解即可得到实数k的取值范围．

解答：解：（1）∵y=g（x）是指数函数，
∴设g（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
∵g（3）=8，
∴a³=8，解得a=2，
故g（x）=2^x；
（2）∵f（x）=

n-g(x)

m+2g(x)

，且g（x）=2^x，
∴f（x）=

n-2x

m+2x+1

，
∵f（x）=

n-2x

m+2x+1

是奇函数，
∴f（0）=0，即

n-1

2+m

=0，解得n=1，
∴f（x）=

1-2x

m+2x+1

，
又∵f（-1）=-f（1），
∴

1- 1 2

m+1

=

1-2

4+m

，解得m=2，
故m=2，n=1；    　　　　　　           
（3）由（2）知，f（x）=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵y=2^x+1在R上单调递增，则y=

1

2x+1

在R上单调递减，
∴f（x）=-

1

2

+

1

2x+1

在R上单调递减，
∵不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0，
∴f（2t-3t²）＞-f（t²-k），
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（2t-3t²）＞f（k-t²），
又f（x）是R上的单调递减函数，
∴f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0对任意的t∈R恒成立，转化为2t-3t²＜k-t²对任意的t∈R恒成立，
∴2t²-2t+k＞0对任意的t∈R恒成立，
∴△=（-2）²-4×2×k＜0，解得k＞

1

2

，
故实数k的取值范围为k＞

1

2

．

点评：本题考查了函数解析式的求解，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，配凑法，消元法等．同时考查了函数的恒成立问题，函数恒成立问题的，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于中档题．