Question

已知指数函数y=g（x）过点（1，3），函数f(x)=

-g(x)+n

g(x)+1

是R上的奇函数．
（I）求y=g（x）的解析式；
（II）求n的值并用定义域判定y=f（x）的单调性；
（III）讨论关于x的方程xf（x）=m的解的个数．

Answer 1

分析：（I）根据指数函数y=g（x）满足：g（1）=3，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，解方程组即可求出n的值，即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据指数函数的图象和性质，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义可判断y=f（x）在R上的单调性；
（III）方程xf（x）=m即

-3x+1

3x+1

=

m

x

，对字母m进行分类讨论，分别考察左右两边函数的图象的交点个数即可得出答案．

解答：解：（I）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（1）=3得a=3，故g（x）=3^x，…（2分）
∵函数f(x)=

-g(x)+n

g(x)+1

=

-3x+n

3x+1

是奇函数
∴f（0）=

-30+n

30+1

=0
∴n=1；
∴f（x）=

-3x+1

3x+1

（II）f（x）=

-3x+1

3x+1

在（-∞，+∞）上为减函数，理由如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

-3x1+1

3x1+1

-

-3x2+1

3x2+1

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（III）方程xf（x）=m即

-3x+1

3x+1

=

m

x

，
分别考察左右两边函数的图象，
当m＞0时，两图象没有交点，即方程xf（x）=m的解的个数为0；
当m=0时，两图象有一个交点，即方程xf（x）=m的解的个数为1；
当m＜0时，两图象有两个交点，即方程xf（x）=m的解的个数为2；

点评：本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，方程的根与函数零点的关系，是函数问题的简单综合应用，难度中等．