Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R上的函数f(x)=

-g(x)+n

g(x)+m

是奇函数．
（Ⅰ）求y=g（x）与y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断y=f（x）在R上的单调性并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，试证：-1＜3f（b）＜0．

Answer 1

分析：（I）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值，即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，根据指数函数的图象和性质，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而根据函数单调性的定义可判断y=f（x）在R上的单调性
（Ⅲ）若方程f（x）=b，可得b∈（0，1），进而可得f（1）＜f（b）＜f（0），进而得到结论．

解答：解：（I）设g（x）=a^x（a＞0，a≠1），由g（2）=4得a=2，故g（x）=2^x，…（2分）
∵函数f(x)=

-g(x)+n

g(x)+m

=

-2x+n

2x+m

是奇函数
∴f（0）=

-1+n

1+m

=0
∴n=1；又由f（1）=-f（-1）知

-2 +1

2 +m

=-

- 1 2 +1

1 2  +m

，解得m=1
∴f（x）=

1-2x

1+2x

（II）f（x）=

1-2x

1+2x

在（-∞，+∞）上为减函数，理由如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，1+2x1＞0，1+2x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1-2x1

1+2x1

-

1-2x2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）=

1-2x

1+2x

在（-∞，+∞）上为减函数
证明：（III）若方程f（x）=b在（-∞，0）上有解，
即

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1=b在（-∞，0）上有解，
∵此时2^x∈（0，1）
∴

2

1+2x

-1∈（0，1）
从而b∈（0，1）
由（II）得f（x）=

1-2x

1+2x

在（-∞，+∞）上为减函数
∴f（1）＜f（b）＜f（0）．
即-

1

3

＜f（b）＜0
即：-1＜3f（b）＜0

点评：本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，方程的根与函数零点的关系，是函数问题的简单综合应用，难度中档