Question

15．已知 函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），g（x）=-（x-$\frac{5}{12}$）²．
（1）若a=3，f（$\frac{27}{x}$）f（3x）=-5，求x的值；
（2）若f（3a-1）＞f（a），求g（a）的取值范围．

Answer 1

分析 （1））由题意得（${log}_{3}^{27}$-${log}_{3}^{x}$）（${log}_{3}^{3}$+${log}_{3}^{x}$）=-5，设t=${log}_{3}^{x}$，即（3-t）（1+t）=-5，解出即可；
（2）求出a的范围，根据g（x）的最大值是0，求出g（a）的范围即可．

解答 解：（1）由题意得：（${log}_{a}^{27}$-${log}_{a}^{x}$）（${log}_{a}^{3}$+${log}_{a}^{x}$）=（${log}_{3}^{27}$-${log}_{3}^{x}$）（${log}_{3}^{3}$+${log}_{3}^{x}$）=-5，
设t=${log}_{3}^{x}$，即（3-t）（1+t）=-5，
∴t²-2t-8=0，解得：t=4或-2，
∴${log}_{3}^{x}$=4或${log}_{3}^{x}$=-2，
解得：x=81或x=$\frac{1}{9}$；
（2）当a＞1，3a-1＞a＞0，∴a＞$\frac{1}{2}$，
又a＞1，∴a＞1，
当0＜a＜1，0＜3a-1＜a，
∴$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
综上，a∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
∴a=$\frac{5}{12}$时，g（x）_max=0，又g（$\frac{1}{2}$）=g（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{144}$，g（1）=-$\frac{49}{144}$，
∴g（a）∈（-∞，-$\frac{49}{144}$）∪（-$\frac{1}{144}$，0]．

点评 本题考查了对数函数的性质，考查二次函数的性质，是一道中档题．